利用二次函數圖像判斷各系數之間的關系，是中考數學的常考題型，因為綜合性較高，題目較難，通常放在選擇題或者填空題最后一題，作為小題的壓軸題。因此，需要各位同學認真熟悉此種題型的解題方法和技巧。

數學學習

一、基本原理：拋物線與系數之間的關系

已知二次函數y=ax2+bx+c，(a≠0, a、b、c為各項系數)

1、a與拋物線的開口方向及大小之間的關系

拋物線開口向上 a>0，

拋物線開口向下 a<0，

|a|越大，拋物線的開口越小

|a|越小，拋物線的開口越大

2、a、b決定拋物線的對稱軸 以及 二次函數的最大最小值

1)拋物線對稱軸的表達式：x= - b/2a

① b=0時，對稱軸為x=0，即y軸;

②當a、b同號時，對稱軸<0，即對稱軸在y軸左側;

③當a、b異號時，對稱軸>0，即對稱軸在y軸右側;

2)二次函數的最值

① 當a>0時，二次函數在x= - b/2a處，取最小值(4ac - b²)/4a

② 當a<0時，二次函數在x= - b/2a處，取最大值(4ac - b²)/4a

3、c即拋物線與y軸的交點

因為對于二次函數y=ax2+bx+c，當x=0時，y=c;

C>0 、C=0、C<0 ，拋物線與坐標軸分別交于y軸正半軸、原點、y軸負半軸。

4、△ = b²- 4ac 決定拋物線與x軸的交點個數

① 當△ > 0時，拋物線與x軸有兩個交點

② 當△ = 0時，拋物線與x軸有一個交點

③ 當△ <0時，拋物線與x軸無交點

二、數形結合：代入特殊值

在確定了拋物線的開口方向、對稱軸、最值，以及與坐標軸的交點后，往往只能解決前面一些較為簡單的問題。我們還需要依據圖形，代入特殊值，才能解決題目中較難的問題。

代入的特殊值一般有x= -1， x= 1， x= -2 ，x=2，x=對稱軸 等，以及圖形中標出的特殊數值，將這些特殊值代入二次函數解析式中，求出函數值，然后結合圖像

(1)與0作比較;

(2)與函數最值作比較;

(3)如果有一次函數，與一次函數值作比較;

(4)或者代入特殊值后，將得到的關于a、b、c表達式進行加減乘除運算等。

下面我們結合例題進行詳細講解：

三、例題解析

例1、如圖所示，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=1.直線y=﹣x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標小于3，則下列結論：①2a+b+c>0; ②a﹣b+c<0; ③x(ax+b)≤a+b; ④a<﹣1.其中正確的是( )

A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①②

解：∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，

∴c>0，

∵拋物線的對稱軸為直線x=− b/(2a) =1，(利用對稱軸公式得出a、b的關系)

∴b=−2a，

∴2a+b+c=2a−2a+c=c>0，所以①正確;

∵拋物線與x軸的一個交點在點(3，0)左側，

而拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴拋物線與x軸的另一個交點在點(−1，0)右側，

∴當x=−1時，y<0，(代入特殊值x=−1，結合圖像將函數值與0作比較)

∴a−b+c<0，所以②正確;

∵x=1時，二次函數有最大值，(代入特殊值x=1，得出函數最大值，二次函數的所有值都小于最大值)

∴ax2+bx+c≤a+b+c，

∴ax2+bx≤a+b，所以③正確;

∵直線y=−x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標小于3，

∴x=3時，一次函數值比二次函數值大，

即9a+3b+c<−3+c，(代入特殊值x=3，結合圖像將二次函數值與一次函數值作比較)

而b=−2a，

∴9a−6a<−3，解得a<−1，所以④正確.

故答案為：A.

例2、如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為(0.5，1)，下列結論：①ac<0;②a+b=0;③4ac﹣b2=4a;④(a+c)2﹣b2<0.其中正確的個數是( )

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

解：由圖像可知：

①a<0, c>0

∴ac<0 正確

②∵頂點的橫坐標為0.5

∴ x=− b/(2a) =1/2

(利用對稱軸公式得出a、b的關系)

∴a+b=0 正確

③∵頂點的縱坐標為1

∴(4ac - b²)/4a=1(利用最值公式)

∴4ac﹣b2=4a正確

① 當x= 1時，y= a+b+c>0

當x= -1時，y= a-b+c<0 (a-b+c)(a+b+c)<0

∴(a+c)²﹣b²<0

(代入特殊值x=−1，x=1得到關于a、b、c表達式進行相乘結合圖像將函數值與0作比較)

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