二次函數(shù)與圖形變換

圖形變換包含平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、位似四種變換，那么二次函數(shù)的圖像在其圖形變化(平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn))的過程中，如何完成解析式的確定呢?解決此類問題的方法很多，關(guān)鍵在于解決問題的著眼點(diǎn)。筆者認(rèn)為最好的方法是用頂點(diǎn)式的方法。因此解題時(shí)，先將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)具體圖形變換的特點(diǎn)，確定變化后新的頂點(diǎn)坐標(biāo)及a值。

1、平移：二次函數(shù)圖像經(jīng)過平移變換不會(huì)改變圖形的形狀和開口方向，因此a值不變。頂點(diǎn)位置將會(huì)隨著整個(gè)圖像的平移而變化，因此只要按照點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律，求出新的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可確定其解析式。

例1.將二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到的新的圖像解析式為_____

分析：將y=x2-2x-3化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=(x-1)2-4，a值為1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-4)，將其圖像向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，那么頂點(diǎn)也會(huì)相應(yīng)移動(dòng)，其坐標(biāo)為(2，-2),由于平移不改變二次函數(shù)的圖像的形狀和開口方向，因此a值不變，故平移后的解析式為y=(x- 2)2-2。

2、軸對(duì)稱：此圖形變換包括x軸對(duì)稱和關(guān)于y軸對(duì)稱兩種方式。

二次函數(shù)圖像關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像，其形狀不變，但開口方向相反，因此a值為原來的相反數(shù)。頂點(diǎn)位置改變，只要根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出新的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定其解析式。

二次函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像，其形狀和開口方向都不變，因此a值不變。但是頂點(diǎn)位置會(huì)改變，只要根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出新的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定其解析式。

例2.求拋物線y=x2-2x-3關(guān)于x軸以及y軸對(duì)稱的拋物線的解析式。

分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a值為1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-4)，若關(guān)于x軸對(duì)稱，a值為-1，新的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，故解析式為y=-(x-1)2+4;若關(guān)于y軸對(duì)稱，a值仍為1，新的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-4)，因此解析式為y=(x+1)2-4。

3、旋轉(zhuǎn)：主要是指以二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角為180°的圖像變換，此類旋轉(zhuǎn)，不會(huì)改變二次函數(shù)的圖像形狀，開口方向相反，因此a值會(huì)為原來的相反數(shù)，但頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，故很容易求其解析式。

例3.將拋物線y=x2-2x+3繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，則所得的拋物線的函數(shù)解析式為________

分析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2中，a值為1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，拋物線繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，a值為-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，故解析式為y=-(x-1)2+2。

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