絕對值不等式

簡介

在不等式應用中，經常涉及重量、面積、體積等，也涉及某些數學對象(如實數、向量)的大小或絕對值。它們都是通過非負數來度量的。

公式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

性質

|a|表示數軸上的點a與原點的距離叫做數a的絕對值。

兩個重要性質：1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|

2.|a|<|b| 可逆 a²

另外

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≤0時左邊等號成立，ab≥0時右邊等號成立。

|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≥0時左邊等號成立，ab≤0時右邊等號成立。

幾何意義

1.當a，b同號時它們位于原點的同一邊，此時a與﹣b的距離等于它們到原點的距離之和。 2.當a，b異號時它們分別位于原點的兩邊，此時a與﹣b的距離小于它們到原點的距離之和。

(|a+b|表示a-b與原點的距離，也表示a與b之間的距離)

絕對值重要不等式

我們知道

|a|={a，(a>0)， a，(a=0)， ﹣a，(a<0)，}

因此，有

﹣|a|≤a≤|a|

﹣|b|≤b≤|b|

同樣地

①，②相加得

﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|

即 |a+b|≤|a|+|b|

顯而易見，a，b同號或有一個為0時，③式等號成立。

由③可得

|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|，

即 |a|-|b|≤|a+b|

綜合③，④我們得到有關絕對值(absolute value)的重要不等式

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

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