∠AGB=∠GEH．

EH∥AC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．

　　由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以

FC=EH=AE．

　　說(shuō)明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等)，從而構(gòu)造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發(fā)現(xiàn)△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過(guò)渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．

　　例3 如圖2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：∠EMC=3∠BEM．

　　分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應(yīng)該有∠B=2∠BEM，這個(gè)論斷在△BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn)，因此，應(yīng)設(shè)法通過(guò)添加輔助線的辦法，將這兩個(gè)角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點(diǎn)的條件，延長(zhǎng)EM與DC延長(zhǎng)線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此， 只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發(fā)現(xiàn)，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點(diǎn)，我們的證明可從這里展開(kāi)．

　　證 延長(zhǎng)EM交DC的延長(zhǎng)線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以

△MCF≌△MBE(AAS)，

　　所以M是EF的中點(diǎn)．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知

∠F=∠MDC，

　　又由已知MC=CD，所以

∠MDC=∠CMD，

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

　　例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長(zhǎng)線于F．求證：CA=CF．

　　分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時(shí)，應(yīng)設(shè)法產(chǎn)生一個(gè)與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長(zhǎng)DC交AF于H，并設(shè)AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．

　　證 延長(zhǎng)DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因?yàn)榫匦螌?duì)角線相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此，

　　∠FCH=∠CAD． ①

　　又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以

∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，

　　所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②

∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，

　　于是在三角形CAF中，有

CA=CF．

　　例5 設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)為E，F是CE的中點(diǎn)(圖2-36)．求證：

　　分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設(shè)法證明∠DAE=∠1或∠2．

　　證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長(zhǎng)線于H，則∠1=∠2=∠3，所以

FA=FH．

　　設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，在Rt△ADF中，

　　所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，

Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，

　　例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，F，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形．

　　分析 準(zhǔn)確地畫(huà)圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．

　　證 因?yàn)?/FONT>DEBC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又BD=FD，所以