經(jīng)檢驗，均為原方程的解．

　　說明 應(yīng)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)“幾個非負(fù)數(shù)之和為零，則這幾個非負(fù)數(shù)都為零”，可將一個等式轉(zhuǎn)化為幾個等式，從而增加了求解的條件．

　　例8 已知方程組

　　求實(shí)數(shù)x₁，x₂，…，x_n的值．

　　解 顯然，x₁=x₂=…=x_n=0是方程組的解．

　　由已知方程組可知，在x₁，x₂，…，x_n 中，只要有一個值為零，則必有x₁=x₂=…=x_n=0．所以當(dāng)x₁≠0，x₂≠0，…，x_n≠0時，將原方程組化為

　　將上面n個方程相加得

　　又因為x_i為實(shí)數(shù)，所以

　　例9 求滿足方程｜a-b｜+ab=1的非負(fù)整數(shù)a，b的值．

　　解 由于a，b為非負(fù)整數(shù)，所以

　　例10 當(dāng)a，b為何值時，方程

　　x²+2(1+a)x+3a²+4ab+4b²+2=0有實(shí)數(shù)根？

　　解 因為方程有實(shí)數(shù)根，所以△≥0，即

　　△=4(1+a)²-4(3a²+4ab+4b²+2)

　　　=4a²+8a+4-12a²-16ab-16b²-8

　　　=-8a²-16ab-16b²+8a-4≥0，

　　2a²-4ab-4b²+2a-1≥0，

　　-a²+2a-1-a²-4ab-4b²≥0，

　　-(a-1)²-(a+2b)²≥0．

　　因為(a-1)2≥0，(a+2b)²≥0，所以

　　例11 已知實(shí)數(shù)a，b，c，r，p滿足

pr＞1，pc-2b+ra=0，

　　求證：一元二次方程ax²+2bx+c=0必有實(shí)數(shù)根．

　　證 由已知得2b=pc+ra，所以

　　△=(2b)²-4ac=(pc+ra)²-4ac

　　　=p²c²+2pcra+r²a²-4ac

　　　=p²c²-2pcra+r²a²+4pcra-4ac

　　　=(pc-ra)²+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)²≥0，所以當(dāng)ac≥0時，△≥0；當(dāng)ac＜0時，也有△=(2b)²-4ac＞0．綜上，總有△≥0，故原方程必有實(shí)數(shù)根．

　　例12 對任意實(shí)數(shù)x，比較3x²+2x-1與x²+5x-3的大小．

　　解 用比差法．

　　(3x²+2x-1)-(x²+5x-3)

　　=2x²-3x+2

　　(3x²+2x-1)-(x²+5x-3)＞0，

　　所以 3x²+2x-1＞x²+5x-3．

　　說明 比差法是比較兩個代數(shù)式值的大小的常用方法，除此之外，為判定差是大于零還是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了這兩個方法，使問題得到解決．

　　例13 已知a，b，c為實(shí)數(shù)，設(shè)

　　證明：A，B，C中至少有一個值大于零．

　　證 由題設(shè)有

　　A+B+C

　　=(a²-2a+1)+(b²-2b+1)+(c²-2c+1)+π-3

　　=(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²+(π-3)．

　　因為(a-1)²≥0，(b-1)²≥0，(c-1)²≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．

　　若A≤0，B≤0，C≤0，則A+B+C≤0與A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一個大于零．

　　例14 已知a≥0，b≥0，求證：

　　分析與證明 對要求證的不等式兩邊分別因式分解有

　　因為a≥0，b≥0，所以

　　例15 四邊形四條邊長分別為a，b，c，d，它們滿足等式

a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd，

　　解 由已知可得

　　a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd=0，

　　(a⁴-2a²b²+b⁴)+(c²-2c²d²+d⁴)+(2a²b²-4abcd+2c²d²)=0，

　　即 (a²-b²)²+(c²-d²)²+2(ab-cd)²=0．

　　因為a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，所以

　　(a²-b²)²≥0，(c²-d²)²≥0，(ab-cd)²≥0，

　　由于a，b，c，d都為正數(shù)，所以，解①，②，③有

a=b=c=d．

　　1．求x，y的值：

　　4．若實(shí)數(shù)x，y，z滿足條件

　　5．已知a，b，c，x，y，z都是非零實(shí)數(shù)，且a²+b²+c²=x²+y²+z²=ax+by-cz，

　　6．若方程k(x²-4)+ax-1=0對一切實(shí)數(shù)k都有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．